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1、学习目标

本章是在独异点的基础上继续加入“每个元素都有逆元”，得到群。从这里开始，代数结构进入真正高频的证明题区域。

主线：

1
2
3
4
半群：封闭 + 结合律
独异点：半群 + 单位元
群：独异点 + 每个元素有逆元
Abel 群：群 + 交换律

本章要能熟练处理：

1
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4
5
1. 群的定义、等价定义和基本消去性质。
2. 子群判定、循环群、生成元与子群结构。
3. 置换群、轮换分解、对换分解和置换阶。
4. 陪集分解、Lagrange 定理、正规子群与商群。
5. 群同态、核、像、同构和同态基本定理。

群题最常见的失误不是“不会算”，而是忘记非 Abel 群里一般不能交换顺序。凡是移动 a、b 的位置，都要问一句：题目是否已给出 ab=ba，或是否在 Abel 群、循环群、商群等可交换环境中？

2、群的定义与等价定义

群

代数系统：

1
<G,*>

若满足：

1
2
3
4
1. 封闭性：任意 a,b in G，有 a*b in G；
2. 结合律：(a*b)*c = a*(b*c)；
3. 存在单位元 e：e*a=a*e=a；
4. 任意 a in G 存在逆元 a^{-1}：a*a^{-1}=a^{-1}*a=e；

则 <G,*> 是群。若还满足：

1
a*b=b*a

则称为交换群或 Abel 群。

等价定义

群也可看成：

1
<G, *, ^{-1}, e>

其中 * 是二元运算，^{-1} 是一元运算，e 是零元运算。

常用等价判定：

1
2
3
若 <G,*> 满足结合律，存在右单位元 e，
并且每个 a in G 都有右逆元 a'，使 a*a'=e，
则 <G,*> 已经是群。

也就是说，群中“右单位元 + 右逆元”在结合律的支撑下会自动补齐为双侧单位元和双侧逆元。证明题中若只给一侧条件，不要急着判定不够。

术语

名称 含义
平凡群 只含单位元的群
有限群 G 是有限集合
群的阶 `
元素的阶 `
无限阶元 不存在正整数 r 使 a^r=e

3、群的基本性质

单位元、逆元、消去律

群中有：

1
2
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4
单位元唯一。
每个元素的逆元唯一。
(a^{-1})^{-1}=a。
(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}。

消去律：

1
2
ab=ac => b=c
ba=ca => b=c

方程唯一解：

1
2
ax=b 的唯一解为 x=a^{-1}b。
ya=b 的唯一解为 y=ba^{-1}。

幂运算规则

群中因为有逆元，可以定义整数幂：

1
2
3
a^0=e
a^n=aa...a       n>0
a^{-n}=(a^{-1})^n

常用公式：

1
2
a^n a^m = a^{n+m}
(a^n)^m = a^{nm}

若 ab=ba，才有：

1
(ab)^n = a^n b^n

元素阶

若 |a|=r，则：

1
2
a^k=e <=> r | k
|a|=|a^{-1}|

若 G 是有限群，则：

1
|a| <= |G|

后面由 Lagrange 定理还能得到更强结论：

1
|a| 整除 |G|

4、子群

子群定义

设 <G,*> 是群，H 是 G 的非空子集。若 H 关于同一运算也构成群，则称 H 为 G 的子群，记作：

1
H <= G

子群判定

最常用判定：

1
H 非空，且任意 a,b in H，有 ab^{-1} in H。

也可以用两步判定：

1
2
1. 任意 a,b in H，有 ab in H；
2. 任意 b in H，有 b^{-1} in H。

有限子集的简化判定：

1
若 H 是有限非空子集，只要 H 对乘法封闭，就有 H <= G。

重要子群

由元素 a 生成的子群：

1
<a>={a^k | k in Z}

由子集 B 生成的子群：

1
<B> = 所有包含 B 的子群的交集

中心：

1
C(G)={a in G | 对任意 x in G, ax=xa}

课程中还常写：

1
N(a)={x in G | xa=ax}

这就是元素 a 的中心化子。它是 G 的子群。

子群之间的运算：

1
2
3
若 A,B <= G，则 A ∩ B <= G。
A ∪ B <= G <=> A subset B 或 B subset A。
AB={ab | a in A, b in B} 是子群 <=> AB=BA。

5、循环群

若存在 a in G，使：

1
G=<a>={a^k | k in Z}

则 G 是循环群，a 是生成元。

无限循环群

若 G=<a> 且 a 无限阶，则：

1
2
G 的生成元只有 a 和 a^{-1}。
G 的子群为 <a^i>，i=0,1,2,...

典型例子：

1
2
<Z,+> 的生成元是 1 和 -1。
<Z,+> 的子群都是 nZ。

有限循环群

若 G=<a> 且 |G|=n，则：

1
G={e,a,a^2,...,a^{n-1}}

a^r 是生成元当且仅当：

1
gcd(n,r)=1

因此 n 阶循环群有：

1
phi(n)

个生成元。

有限循环群的子群：

1
2
若 d | n，则 G 中有唯一一个 d 阶子群：
<a^{n/d}>

例：

1
2
<Z_12,+> 的生成元：1,5,7,11。
<Z_12,+> 的子群：<0>, <1>, <2>, <3>, <4>, <6>。

6、变换群与置换群

集合 A 到自身的一一变换关于复合构成群，称为变换群。

n 元集合上的全体置换关于复合构成群：

1
S_n

其阶为：

1
|S_n|=n!

偶置换构成交错群：

1
A_n <= S_n

轮换分解

任意置换都可以分解为不相交轮换的乘积，且分解在轮换顺序意义下唯一。

置换的阶：

1
不相交轮换长度的最小公倍数。

例：

1
2
sigma=(1 5 2)(3 4)
|sigma|=lcm(3,2)=6

k 阶轮换可写成对换乘积：

1
(i1 i2 ... ik)=(i1 ik)(i1 i_(k-1))...(i1 i2)

常用生成结论：

1
2
S_n 可由 {(1 2),(1 3),...,(1 n)} 生成。
S_n 也可由 {(1 2),(2 3),...,(n-1 n)} 生成。

Cayley 定理

1
2
每个群都同构于某个变换群。
每个有限群都同构于某个置换群。

Cayley 定理的直觉：抽象群里的每个元素，都可以看成“左乘这个元素”所诱导的一个排列。于是群运算被表示成置换复合。

7、陪集与 Lagrange 定理

设 H <= G。

左陪集：

1
aH={ah | h in H}

右陪集：

1
Ha={ha | h in H}

课程中常用性质：

1
2
3
eH=H
aH 与 H 等势
a in bH <=> aH=bH <=> a^{-1}b in H

左陪集把 G 划分成若干互不相交的块：

1
G = union aH

Lagrange 定理

若 G 是有限群，H <= G，则：

1
|G| = [G:H] |H|

所以：

1
|H| 整除 |G|

重要推论：

1
2
3
元素阶 |a| 整除群阶 |G|。
素数阶群必为循环群。
若 |G| 为偶数，则 G 中存在二阶元。

指数乘法：

1
若 H <= K <= G，则 [G:H]=[G:K][K:H]。

有限子群乘积大小：

1
|AB| = |A||B| / |A ∩ B|

8、共轭类、正规子群与商群

共轭关系

在群 G 中定义：

1
a ~ b <=> 存在 x in G，使 b=xax^{-1}

则 ~ 是等价关系。等价类称为共轭类。

若 a 的共轭类大小为 k，则：

1
k = [G:N(a)]

其中：

1
N(a)={x in G | xa=ax}

分类方程：

1
|G| = |C(G)| + 若干个非中心共轭类大小之和

若 |G|=p^s，p 是素数，则：

1
p | |C(G)|

正规子群

N <= G 是正规子群，记作：

1
N normal G

等价条件：

1
2
3
1. 对任意 a in G，有 aN=Na；
2. 对任意 g in G，有 gNg^{-1}=N；
3. 对任意 g in G, n in N，有 gng^{-1} in N。

常用判定：

1
2
3
4
唯一的某阶子群一定是正规子群。
指数为 2 的子群一定是正规子群。
Abel 群的每个子群都是正规子群。
循环群的每个子群都是正规子群。

商群

若 N normal G，则全体陪集：

1
G/N={Na | a in G}

在运算：

1
Na · Nb = Nab

下构成群，称为商群。

商群阶：

1
|G/N|=[G:N]

例：

1
2
3
4
G=<Z_12,+>, H=<3>={0,3,6,9}
G/H={H, H+1, H+2}
H+1={1,4,7,10}
H+2={2,5,8,11}

9、群同态与同构

群同态：

1
2
f:G1 -> G2
f(xy)=f(x)f(y)

同态保持：

1
2
f(e1)=e2
f(x^{-1})=f(x)^{-1}

核：

1
ker f={x in G1 | f(x)=e2}

像：

1
Im f=f(G1)

核心结论：

1
2
3
ker f normal G1
ker f={e1} <=> f 是单同态
f(a)=f(b) <=> a ker f = b ker f

同态基本定理：

1
G1 / ker f ~= Im f

特殊映射：

1
2
3
End(G)：G 到自身的同态，全体构成独异点。
Aut(G)：G 到自身的同构，全体构成群。
Inn(G)：内自同构群。

内自同构：

1
phi_x(a)=xax^{-1}

并且：

1
G/C(G) ~= Inn(G)

10、常见证明套路

证明“某集合构成群”

1
2
3
4
1. 先证封闭。
2. 结合律通常继承自原运算，如矩阵乘法、函数复合。
3. 找单位元。
4. 给出每个元素的逆元，并验证仍在集合中。

证明“某集合是子群”

优先用一行判定：

1
H 非空；任取 x,y in H，证明 xy^{-1} in H。

如果 H 有限：

1
H 非空；任取 x,y in H，证明 xy in H。

证明“正规子群”

常用三种入口：

1
2
3
1. 直接证明 gNg^{-1} subset N。
2. 证明 gN=Ng。
3. 用唯一性或指数为 2。

证明“商群良定义”

核心要检查：

1
Na=Na', Nb=Nb' => Nab=Na'b'

正规性保证代表元换掉后，乘积陪集不变。

证明“同态与同构”

模板：

1
2
3
4
同态：f(xy)=f(x)f(y)
单射：ker f={e}
满射：任取目标元素，找原像
同构：同态 + 双射

11、习题答案速查

习题 17.1：矩阵乘法构成群

答案要点：

1
2
3
4
四个矩阵关于矩阵乘法封闭。
矩阵乘法结合律继承成立。
单位元为 A。
A^{-1}=A，B^{-1}=B，(-B)^{-1}=-B，(-A)^{-1}=-A。

所以 G 关于矩阵乘法构成群。

习题 17.2：a o b = a u^{-1} b

1
2
3
(a o b) o c = au^{-1}bu^{-1}c = a o (b o c)
单位元为 u。
a 的逆元为 u a^{-1} u。

所以 G 关于 o 构成群。

习题 17.3：整数集上 a o b=a+b-2

1
2
3
(a o b) o c = a+b+c-4 = a o (b o c)
单位元为 2。
a 的逆元为 4-a。

所以 <Z,o> 构成群。

习题 17.4：反向乘法 a*b=ba

1
2
(a*b)*c = c(ba)
a*(b*c) = (cb)a

由原群结合律二者相等。单位元仍是 e，a 的逆元仍是 a^{-1}，所以 <G,*> 是群。

习题 17.5：六个矩阵构成群

答案要点：

1
2
3
4
运算表封闭。
矩阵乘法结合律成立。
A 是单位矩阵。
A^{-1}=A, B^{-1}=C, C^{-1}=B, D^{-1}=D, E^{-1}=E, F^{-1}=F。

所以构成群。

习题 17.6：由 (ab)^2=a^2b^2 推交换

1
abab=aabb

左消去 a、右消去 b，得：

1
ba=ab

习题 17.7：共轭幂

先归纳证明：

1
(x^{-1}yx)^k = x^{-1}y^k x

于是：

1
2
3
(x^{-1}yx)^k=x^{-1}yx
<=> x^{-1}y^kx=x^{-1}yx
<=> y^k=y

习题 17.8：群中恒等式

1
2
3
(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}
(a^n)^m=a^{nm}
若 G 为 Abel 群，则 (ab)^n=a^n b^n。

证明分别用“验证逆元唯一”和对整数幂归纳。

习题 17.9：元素阶的几个不变量

1
2
3
|b^{-1}ab|=|a|
|ab|=|ba|
|abc|=|bca|=|cab|

若 ba=a^m b^n，则：

1
2
|a^m b^{n-2}|=|ab^{-1}|
|a^{m-2} b^n|=|a^{-1}b|

核心方法：把目标元素写成另一个元素的共轭，或互相证明阶整除。

习题 17.10：偶数阶群必有二阶元

阶大于 2 的元素与其逆元成对出现；单位元只有一个。若群阶为偶数，则剩下元素中必存在满足：

1
x=x^{-1}, x != e

的元素，即 x^2=e，所以有二阶元。

习题 17.11：非交换群中存在可交换的不同非单位元

若所有 x 都满足 x^2=e，则：

1
xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx

会使群交换，矛盾。因此存在非单位元 a 使 a^2 != e。取：

1
b=a^{-1}

则 a!=b 且 ab=ba=e。

习题 17.12：互素阶分解的唯一性

由 (p,q)=1，取整数 r,s 使：

1
rp+sq=1

利用 u_i^p=e、v_i^q=e 和 u_i v_i=v_i u_i，从：

1
u1v1=u2v2

推出：

1
u1=u2, v1=v2

习题 17.13：矩阵加法群的子群判断

答案：

1
2
3
4
(1) 全体对称矩阵：构成子群。
(2) 全体对角矩阵：构成子群。
(3) 全体行列式 >=0 的矩阵：不构成子群。
(4) 全体上/下三角矩阵：构成子群。

习题 17.14：与 a 可交换的元素构成子群

设：

1
H={x in G | xa=ax}

e in H。若 x,y in H，则：

1
(xy^{-1})a = a(xy^{-1})

所以 xy^{-1} in H，由子群判定得 H <= G。

习题 17.15：只有 1、2、3 个子群的群

1
2
3
(1) 只有一个子群：G={e}。
(2) 只有两个子群：G={e,a}, a^2=e。
(3) 只有三个子群：G={e,a,a^2,a^3}, a^4=e。

习题 17.16：H1H2 是子群的充要条件

1
H1H2 <= G <=> H1H2=H2H1

充分性：用 xy^{-1} 判定。必要性：若 H1H2 是子群，则对任意 h1h2，其逆也在 H1H2，可推出两个乘积集合互相包含。

习题 17.17：四个子群的交乘公式

已知：

1
H1 subset H1', H2 subset H2'

则：

1
H1H2 ∩ H1' ∩ H2' = (H1 ∩ H2')(H1' ∩ H2)

证明方法：两边互证包含。左到右时把 x=h1h2 同时看作 H1' 和 H2' 中元素，推出 h1 in H1∩H2'、h2 in H1'∩H2。

习题 17.18：题 1 与题 5 的全部子群

题 1 的群同构于 Klein 四元群，子群为：

1
2
3
4
5
{A}
{A,B}
{A,-B}
{A,-A}
G

题 5 的六阶矩阵群同构于 S_3，子群结构为：

1
2
3
4
5
6
{A}
{A,D}
{A,E}
{A,F}
{A,B,C}
G

习题 17.19：15 阶循环群

若 G=<a>，|G|=15：

1
2
生成元：a, a^2, a^4, a^7, a^8, a^11, a^13, a^14。
子群：<e>, <a>=G, <a^3>, <a^5>。

其中 <a^3> 为 5 阶子群，<a^5> 为 3 阶子群。

习题 17.20：素数阶生成子群的交

若 |a|=p，p 为素数，且 a notin <b>，则：

1
<a> ∩ <b> = {e}

证明：若交中有非单位元 x，由于 <a> 是 p 阶循环群，x 生成 <a>，从而 a in <b>，矛盾。

习题 17.21：互素阶循环群分解

若 G=<a> 是 rs 阶循环群，(r,s)=1，H1,H2 分别为 r,s 阶子群，则：

1
2
H1=<a^s>, H2=<a^r>
G=H1H2

用 Bezout 等式 ru+sv=1 可把任意 a^k 写成 H1H2 中元素。

习题 17.22：循环群子群交

若：

1
2
G=<a>, H1=<a^r>, H2=<a^s>
d=lcm(r,s)

则：

1
H1 ∩ H2 = <a^d>

习题 17.23：无限群有无穷多个子群

若存在无限阶元 a，则：

1
<a>, <a^2>, <a^3>, ...

给出无穷多个不同子群。若每个元素都有限阶，则不断选取不在已选循环子群并集中的元素，也能构造无穷多个循环子群。

习题 17.24：S5 中置换计算

按题中两行记法，答案为：

1
2
3
4
sigma tau = (54321 / 12543)
tau sigma = (54321 / 31542)
sigma^{-1} = (54321 / 13452)
tau^{-1} = (54321 / 41253)

轮换分解：

1
2
sigma = (1 5 2)(3 4) = (1 2)(1 5)(3 4)
tau = (1 4 5 2 3) = (1 3)(1 2)(1 5)(1 4)

习题 17.25：S_n 的生成元

1
(i j) = (1 i)(1 j)(1 i)

所以 {(1 2),(1 3),...,(1 n)} 可生成所有对换，从而生成 S_n。

相邻对换也能生成任意对换：

1
(i j) = (i i+1)(i+1 i+2)...(j-1 j)(j-2 j-1)...(i i+1)

所以 {(1 2),(2 3),...,(n-1 n)} 也生成 S_n。

习题 17.26：群方程与置换阶

1
2
sigma x = tau => x=sigma^{-1}tau = (54321 / 51423)
y sigma = tau => y=tau sigma^{-1} = (54321 / 14352)

并且：

1
|sigma|=5, |tau|=5

习题 17.27：S4 中子群的右陪集

令：

1
H={(1), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2)}

S4 中共有 24/4=6 个右陪集：

1
2
3
4
5
6
H
H(1 2)
H(1 3)
H(1 4)
H(2 3)
H(3 4)

对应集合按答案展开为：

1
2
3
4
5
H(1 2)={(1 2),(1 3 4),(1 4 2 3),(2 4 3)}
H(1 3)={(1 3),(1 4)(2 3),(2 4),(1 2)(3 4)}
H(1 4)={(1 4),(2 3 4),(1 2 4 3),(1 3 2)}
H(2 3)={(2 3),(1 2 4),(1 3 4 2),(1 4 3)}
H(3 4)={(3 4),(1 2 3),(1 3 2 4),(1 4 2)}

习题 17.28：矩阵群的左陪集

G 为有理数域上的仿射矩阵群：

1
[[r,s],[0,1]], r in Q*, s in Q

H 为：

1
[[1,t],[0,1]], t in Q

全部左陪集可写为：

1
2
[[a,0],[0,1]]H
= { [[a,t],[0,1]] | t in Q }, a in Q*

习题 17.29：陪集性质

要证：

1
2
3
4
5
eH=H
aH 与 H 等势
a in bH <=> aH=bH <=> a^{-1}b in H
R: aRb <=> a^{-1}b in H 是等价关系
不同左陪集互不相交，且所有左陪集并为 G

证明核心：用 aH 是等价类 [a]。

习题 17.30：互素阶子群的交

若 H1,H2 阶分别为 r,s，且 (r,s)=1，则：

1
H1 ∩ H2 = {e}

因为交子群的阶同时整除 r 和 s。

习题 17.31：p^m 阶群存在 p 阶子群

任取非单位元 x，其阶为 p^k。若 k=1，<x> 即可；若 k>1，取：

1
y=x^{p^{k-1}}

则 |y|=p，<y> 是 p 阶子群。

习题 17.32：指数乘法

若 H <= K <= G 且有限，则：

1
2
|G|=[G:K]|K|
|K|=[K:H]|H|

相乘得：

1
[G:H]=[G:K][K:H]

习题 17.33：有限子群乘积大小

若 A,B 是有限子群，则：

1
|AB| = |A||B| / |A ∩ B|

若 (|A|,|B|)=1，则：

1
2
A ∩ B={e}
|AB|=|A||B|

习题 17.34：共轭置换轮换指数相同

在 S_n 中，若：

1
tau^{-1} sigma tau

与 sigma 共轭，则它只是把轮换中的符号统一重命名。因此轮换长度多重集不变，轮换指数相同。

习题 17.35：题 26 的轮换指数

题 26 中的 sigma 和 tau 都是 5 阶置换，因此轮换指数均为：

1
5^1

习题 17.36：N(a) 是子群

1
N(a)={x in G | xa=ax}

a in N(a) 且非空。若 x,y in N(a)，则：

1
(xy^{-1})a=a(xy^{-1})

所以 xy^{-1} in N(a)，N(a)<=G。

习题 17.37：共轭关系不是同余关系

共轭关系是等价关系，但一般不是群代数系统上的同余关系。反例可取 S4 中同轮换指数的对换，它们与同一置换相乘后可能得到不同轮换指数的置换，因此不再共轭。

习题 17.38：4 阶群的共轭类

若 G=<a> 是 4 阶循环群，由于 Abel 群中每个元素只与自己共轭：

1
{e}, {a}, {a^2}, {a^3}

若 G={e,a,b,c} 是 Klein 四元群，同样是 Abel 群，共轭类为：

1
{e}, {a}, {b}, {c}

习题 17.39：共轭元素的中心化子

结论：

1
N(x^{-1}ax)=x^{-1}N(a)x

证明方法：两边互证包含。把 y(x^{-1}ax)=(x^{-1}ax)y 左右乘以 x，转化为 xyx^{-1} 与 a 可交换。

习题 17.40：共轭类大小的整除

若：

1
|a|=k, |a^n|=k'

则：

1
k' | k

证明用：

1
N(a) <= N(a^n)

再比较共轭类大小。

习题 17.41：元素共轭类大小整除 n/c

若 |G|=n，中心 C 的阶为 c，a 的共轭类大小为 k，则：

1
k | n/c

因为 C <= N(a)，所以 c | |N(a)|，而 k=|G|/|N(a)|。

习题 17.42：循环群子群正规

循环群是 Abel 群。若 H<=G，任取 g in G、h in H：

1
ghg^{-1}=h in H

所以 H normal G。

习题 17.43：题 28 中 H 是正规子群

直接计算：

1
g h g^{-1} in H

对任意 g in G, h in H 成立，所以 H normal G。

习题 17.44：由生成子群得到 H=KN

若：

1
H=<N union K>, N normal H

则任意由 N、K 中元素组成的字，都能利用正规性把 N 中元素移到右边，写成：

1
kn, k in K, n in N

因此：

1
H=KN

习题 17.45：二阶正规子群在中心内

若 N normal G 且 |N|=2，设 N={e,n}。任取 a in G：

1
ana^{-1} in N

且不可能为 e，故 ana^{-1}=n，即 an=na。所以：

1
N subset C(G)

习题 17.46：行列式正的可逆矩阵

设 G=GL_n(R)，H={A in G | det A>0}。

1
det(XMX^{-1})=det M>0

所以 H normal G。

指数：

1
[G:H]=2

对应行列式正、负两个陪集。

习题 17.47：行列式同态

映射：

1
phi(A)=det A

满足：

1
phi(XY)=det(XY)=det X det Y=phi(X)phi(Y)

所以是同态。

1
2
phi(G1)=Q*
ker phi={A in G1 | det A=1}

习题 17.48：<Q,+> 到 <Z,+> 只有零同态

若同态 f 非零，存在 x in Q 使 f(x)=y !=0。取正整数 m 不整除 y，则：

1
f(x/m)=y/m

不在 Z 中，矛盾。因此只能是零同态。

习题 17.49：同构复合仍同构

若：

1
2
phi1:G1 -> G2
phi2:G2 -> G3

都是同构，则 phi2 o phi1 是双射，且：

1
(phi2 o phi1)(xy)=(phi2 o phi1)(x)(phi2 o phi1)(y)

所以仍是同构。

习题 17.50：同构的逆映射仍同构

若 phi:G1 -> G2 是同构，则 phi^{-1} 是双射。对任意 x=phi(a)、y=phi(b)：

1
phi^{-1}(xy)=phi^{-1}(phi(a)phi(b))=phi^{-1}(phi(ab))=ab

所以 phi^{-1} 是同构。

习题 17.51：正规子群的原像

若 H<=G2，则：

1
phi^{-1}(H) <= G1

用 xy^{-1} 判定即可。

若 H normal G2，则对 x in G1, y in phi^{-1}(H)：

1
phi(xyx^{-1})=phi(x)phi(y)phi(x)^{-1} in H

所以：

1
phi^{-1}(H) normal G1

习题 17.52：循环群之间的同态条件

设 G1=<a> 为 m 阶，G2=<b> 为 n 阶：

1
phi(a^t)=b^{kt}

则 phi 为同态当且仅当：

1
n | mk

必要性来自 e=phi(a^m)=b^{mk}；充分性来自良定义与指数加法。

习题 17.53：满同态下互素阶子群落入核

若 phi:G1 -> G2 满同态，H<=G1 且：

1
(|H|, |G2|)=1

则 phi(H) 同时整除 |H| 与 |G2|，所以 |phi(H)|=1。因此：

1
H subset ker phi

习题 17.54：与商群指数互素则落入正规子群

令自然同态：

1
g:G -> G/N

若：

1
(|H|, [G:N])=1

由习题 17.53 得：

1
H subset ker g = N

习题 17.55：商群同构定理形式

若 phi:G1 -> G2 满同态，N normal G1 且 ker phi subset N，则：

1
G1/N ~= G2/phi(N)

构造映射：

1
f(Nx)=phi(N)phi(x)

验证良定义、满射、同态，核为 N。

习题 17.56：第三同构定理形式

若 H,K normal G，则：

1
G/HK ~= (G/H)/(HK/H)

用自然满同态：

1
f:G/H -> G/HK, f(Hx)=HKx

其核为：

1
HK/H

习题 17.57：p^2 阶群必交换

p 群中心非平凡。若 |C(G)|=p^2，则 G=C(G)，交换。若 |C(G)|=p，则：

1
G/C(G)

为 p 阶循环群，由“商去中心为循环群则原群 Abel”推出 G 交换。

习题 17.58：pq 阶交换群的商群循环

G 为 pq 阶交换群，p,q 不同素数，则存在 p 阶元与 q 阶元，且可交换，乘积为 pq 阶元，因此 G 循环。循环群的商群仍循环，所以：

1
G/H 是循环群

习题 17.59：Klein 四元群是 S4 的正规子群

取：

1
V4={(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}

共轭只会把双对换映成双对换，因此：

1
sigma V4 sigma^{-1}=V4

所以 V4 normal S4，且同构意义下它就是 Klein 四元群。

习题 17.60：有限子群条件下满自同态是自同构

若 phi:G -> G 是满自同态，由同态基本定理：

1
G/ker phi ~= G

若 ker phi 非平凡，会造成子群链与子群数量矛盾。因 G 只有有限个子群，得：

1
ker phi={e}

所以 phi 是自同构。

习题 17.61：取逆映射是自同构的充要条件

映射：

1
phi(x)=x^{-1}

若 G Abel，则：

1
phi(xy)=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=x^{-1}y^{-1}

是自同构。反之若它是同态，则：

1
y^{-1}x^{-1}=x^{-1}y^{-1}

推出 xy=yx，故 G Abel。

习题 17.62：循环群自同态与自同构

设 G=<a> 为 n 阶，定义：

1
phi_t(a^i)=(a^t)^i

则 phi_t 是自同态。它是自同构当且仅当：

1
gcd(n,t)=1

因为此时 a^t 仍是生成元。

习题 17.63：G/C ~= InnG

定义：

1
2
f:G -> InnG
f(x)=phi_x, phi_x(a)=xax^{-1}

这是满同态，且：

1
ker f=C(G)

由同态基本定理：

1
G/C(G) ~= InnG

习题 17.64：10 阶群只有两类

同构意义下，10 阶群只有两种：

1
2
C10
D5

若有 10 阶元，则为循环群 C10；若无 10 阶元，则有 5 阶元 b 和 2 阶元 a，满足：

1
a^2=e, b^5=e, aba^{-1}=b^{-1}

得到二面体型群 D5。

习题 17.65：InnG 只有恒等映射的群

1
InnG={id} <=> G 是 Abel 群

因为所有内自同构恒等，等价于任意 x,a 满足 xax^{-1}=a。

习题 17.66：直积交换同构

构造：

1
2
f:G1 x G2 -> G2 x G1
f(<a,b>)=<b,a>

这是双射同态，所以：

1
G1 x G2 ~= G2 x G1

习题 17.67：子群直积仍为子群

若 H1<=G1、H2<=G2，则：

1
H1 x H2 <= G1 x G2

因为：

1
<a,b><c,d>^{-1}=<ac^{-1},bd^{-1}> in H1 x H2

习题 17.68：嵌入到两个商群的直积

若 H,K normal G 且：

1
H ∩ K={e}

定义：

1
2
f:G -> G/H x G/K
f(x)=<Hx,Kx>

则 f 是同态，且：

1
ker f=H ∩ K={e}

所以 G 同构于 G/H x G/K 的一个子群。

12、复盘清单

1
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4
5
6
7
8
1. 会用群定义和等价定义证明一个结构是群。
2. 会用 ab^{-1} 判定子群。
3. 会算循环群生成元、元素阶和全部子群。
4. 会把置换分解成不相交轮换，并用 lcm 求阶。
5. 会用 Lagrange 定理处理子群阶、元素阶和素数阶群。
6. 会判断正规子群，并写出商群运算。
7. 会写同态的核、像，并套同态基本定理。
8. 看到共轭、中心、内自同构时，能联想到 G/C(G) ~= InnG。