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1、学习目标

本章把“加法结构”和“乘法结构”放在同一个集合上：加法要求是 Abel 群，乘法要求是半群，再用分配律把两者粘起来，得到环。继续加入乘法交换、乘法单位、无零因子、非零元素可逆，就得到整环和域。

主线：

1
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5
6
环：加法 Abel 群 + 乘法半群 + 分配律
交换环：环 + 乘法交换
含幺环：环 + 乘法单位元 1
无零因子环：ab=0 => a=0 或 b=0
整环：交换 + 含幺 + 无零因子 + |R|>1
域：非零元素关于乘法构成 Abel 群

本章要能熟练处理：

1
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5
1. 判断一个代数系统是否为环、整环或域。
2. 计算 Z_n 中的零因子、可逆元和理想。
3. 证明子环、理想、商环和环同态。
4. 使用有限整环必为域、有限域阶为 p^n。
5. 处理多项式商环 F[x]/(f(x)) 的有限域构造。

环里有两个运算。证明时要一直区分：加法部分用群语言，乘法部分用半群语言，理想/商环/同态则同时照顾两个运算。

2、环的定义

代数系统：

1
<R,+,*>

若满足：

1
2
3
4
5
1. <R,+> 是 Abel 群；
2. <R,*> 是半群；
3. 乘法对加法满足左、右分配律：
   a*(b+c)=a*b+a*c
   (b+c)*a=b*a+c*a

则 <R,+,*> 是环。

环中的加法单位元记为：

1
0

元素 x 的加法逆元记为：

1
-x

若存在乘法单位元，记为：

1
1

3、环的基本性质

设 R 是环，则：

1
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3
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5
6
a0=0a=0
(-a)b=a(-b)=-(ab)
(-a)(-b)=ab
a(b-c)=ab-ac
(b-c)a=ba-ca
(na)b=a(nb)=n(ab)

多项展开规则：

1
2
(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bm)
= sum_i sum_j ai bj

环里最常用的证明动作：先把加法结构当 Abel 群用，比如消去、取负元、证明子加群；再用分配律把乘法推进或提出。

4、特殊的环

交换环

若对任意 a,b in R：

1
ab=ba

则 R 是交换环。

含幺环

若存在乘法单位元 1：

1
1a=a1=a

则 R 是含幺环。

零因子

非零元素 a 是零因子，指存在非零元素 b，使：

1
ab=0 或 ba=0

无零因子环：

1
ab=0 => a=0 或 b=0

含幺环中，可逆元不是零因子。

整环

整环是满足下列条件的环：

1
2
3
4
1. 交换；
2. 含幺；
3. 无零因子；
4. |R|>1。

典型例子：

1
2
Z 是整环，但不是域。
Z_p 是整环，也是域，其中 p 为素数。

域

若 |R|>1，且：

1
<R-{0}, *> 是 Abel 群

则 R 是域。

常见例子：

1
2
Q, R, C 是域。
Z_p 是域，当且仅当 p 是素数。

关键关系：

1
2
域 => 整环
有限整环 => 域

5、整数模环 Z_n

整数模环：

1
<Z_n, +_n, *_n>

总是交换含幺环。

域判定：

1
Z_n 是域 <=> n 是素数。

零因子判定：

1
2
r in Z_n, r != 0
r 不是零因子 <=> gcd(r,n)=1

所以：

1
r 是非零零因子 <=> r !=0 且 gcd(r,n)>1

例：

1
2
Z_18 中与 18 互素的非零元素：1,5,7,11,13,17
Z_18 的零因子：2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16

6、有限域

有限域 F 的特征必为素数 p，且存在正整数 n，使：

1
|F|=p^n

证明思路：

1
2
3
1. 由 1 生成素域 A={0,1,...,p-1}，它同构于 Z_p。
2. 把 F 看作 A 上的向量空间。
3. 若维数为 n，则 |F|=p^n。

Fermat 小定理：

1
若 n 是素数，且 gcd(a,n)=1，则 a^(n-1) == 1 (mod n)。

但它只是素数的必要条件，不是充分条件。合数也可能骗过单个底数测试，称为伪素数；Carmichael 数会骗过所有与它互素的底数。

Miller-Rabin 的额外思路：

1
2
若 n 是奇素数，则 x^2 == 1 (mod n) 只有 x=1 和 x=-1 两个根。
若发现非平凡平方根，就能判定 n 为合数。

7、子环、理想与商环

子环

设 S 是环 R 的非空子集。若 S 关于 R 中的同一加法和乘法构成环，则 S 是 R 的子环。

常用判定：

1
2
3
S 非空；
任意 x,y in S，有 x-y in S；
任意 x,y in S，有 xy in S。

例：

1
nZ 是 Z 的子环。

理想

设 D subset R。若：

1
2
1. <D,+> 是 <R,+> 的子群；
2. 对任意 r in R，有 rD subset D 且 Dr subset D；

则 D 是 R 的理想。

判定模板：

1
2
3
1. 非空；
2. 任意 x,y in D，证明 x-y in D；
3. 任意 r in R, x in D，证明 rx in D 且 xr in D。

平凡理想：

1
{0}, R

域的理想特点：

1
交换含幺环 R 是域 <=> R 只有平凡理想。

商环

若 D 是 R 的理想，则：

1
R/D={D+x | x in R}

在运算：

1
2
(D+x)+(D+y)=D+(x+y)
(D+x)(D+y)=D+xy

下构成环，称为商环。

例：

1
2
3
Z_6 的理想：{0}, {0,2,4}, {0,3}, Z_6
Z_6/{0,3}={{0,3},{1,4},{2,5}}
Z_6/{0,2,4}={{0,2,4},{1,3,5}}

8、环同态与同构

环同态：

1
2
3
f:R1 -> R2
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(xy)=f(x)f(y)

核：

1
ker f={x in R1 | f(x)=0}

基本性质：

1
2
3
4
f(0)=0
f(-x)=-f(x)
若含幺且同态保持 1，则 f(1)=1
若 x 可逆，则 f(x^{-1})=f(x)^{-1}

子环与理想的像/原像：

1
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3
4
5
S 是 R1 的子环 => f(S) 是 R2 的子环
T 是 R2 的子环 => f^{-1}(T) 是 R1 的子环
D 是 R1 的理想 => f(D) 是 f(R1) 的理想
I 是 R2 的理想 => f^{-1}(I) 是 R1 的理想
ker f 是 R1 的理想

环同态基本定理：

1
R1 / ker f ~= Im f

9、多项式商环与有限域

设 F 是域，F[x] 是多项式环。

代入零点映射：

1
2
phi:F[x] -> F
phi(f(x))=f(0)

是满同态，且：

1
2
ker phi = (x) = {xg(x) | g(x) in F[x]}
F[x]/ker phi ~= F

若 f(x) 是 F 上不可约多项式，则：

1
F[x]/(f(x))

是域。

若 F=F_p 且 deg f=n，则：

1
|F_p[x]/(f(x))|=p^n

例：

1
F_2[x]/(1+x+x^3)

可构造 8 阶有限域。

10、常见证明套路

证明环

1
2
3
4
1. 加法：证明 Abel 群。
2. 乘法：证明半群。
3. 分配律：左右都要验证。
4. 若题目要求含幺，还要找乘法单位元。

证明子环

1
2
3
S 非空；
x,y in S => x-y in S；
x,y in S => xy in S。

证明理想

1
2
3
D 非空；
x,y in D => x-y in D；
r in R, x in D => rx,xr in D。

证明商环同构

常用构造：

1
2
phi:R/B -> R/A
phi(B+r)=A+r

再检查：

1
2
3
4
良定义；
同态；
满射；
核。

证明域的单同态

若 phi:F1 -> F2 是域同态且 phi(F1)!={0}：

1
2
3
4
ker phi 是 F1 的理想。
域只有 {0}, F1 两个理想。
phi(F1)!={0} 排除 ker phi=F1。
所以 ker phi={0}，phi 是单同态。

11、习题答案速查

习题 18.1：互分配运算恒等式

利用 * 与 o 互相分配：

1
2
3
(a1*b1)o(a1*b2)o(a2*b1)o(a2*b2)
= (a1*(b1 o b2)) o (a2*(b1 o b2))
= (a1 o a2)*(b1 o b2)

另一边同样化为：

1
(a1 o a2)*(b1 o b2)

所以相等。

习题 18.2：高斯整数环

1
Z[i]={a+bi | a,b in Z}

关于复数加法和乘法封闭；加法构成 Abel 群，乘法结合，乘法对加法满足分配律。因此 Z[i] 构成环。

习题 18.3：幂集环

P(B) 关于对称差 Delta 构成 Abel 群：

1
2
单位元为空集；
每个集合的逆元是自身。

交运算 cap 结合且交换，并对对称差满足分配律：

1
X cap (Y Delta Z)=(X cap Y) Delta (X cap Z)

所以 <P(B), Delta, cap> 是交换环。

习题 18.4：整数上的新运算环

定义：

1
2
a*b=a+b-1
a o b=a+b-ab

答案：

1
2
3
<Z,*> 是 Abel 群，* 的单位元为 1，a 的负元为 2-a。
o 结合、交换，o 的单位元为 0。
o 对 * 满足分配律。

所以 <Z,*,o> 是含幺环。

习题 18.5：布尔环

若对任意 a in R 有：

1
a^2=a

则：

1
2
3
(1) R 是交换环；
(2) 对任意 a，有 a+a=0；
(3) 若 |R|>2，则 R 不是整环。

证明关键：

1
2
3
a+a=(a+a)^2=a+a+a+a => a+a=0
(a+b)^2=a+b => ab+ba=0
又 ab+ab=0，所以 ab=ba。

习题 18.6：环的直积

R1 x R2 按分量加法和乘法构成环。

1
2
3
4
加法单位元：<0,0>
加法负元：<-a,-b>
若 R1,R2 交换，则直积交换。
若 R1,R2 含幺，则直积含幺，单位元 <1,1>。

若 R1,R2 是整环，R1 x R2 不一定是整环。例如：

1
2
Z_2 x Z_3
<1,0><0,1>=<0,0>

有零因子。

习题 18.7：Z_n 的零因子

若 n 合数，写成 n=pq，其中 p,q>1，则：

1
p*q=0 in Z_n

所以 Z_n 有零因子。

对 r in Z_n, r!=0：

1
r 不是零因子 <=> gcd(r,n)=1

Z_18 的零因子：

1
2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16

习题 18.8：可逆元不是零因子

若 a 可逆且 ab=0，则：

1
b=a^{-1}(ab)=0

同理 ba=0 也推出 b=0。因此 a 不是零因子。

习题 18.9：不存在 pq 个元的整环

设整环 R 有 pq 个元素，其中 p,q 是不同素数。则 <R,+> 是 pq 阶 Abel 群，有 p 阶元和 q 阶元，从而加法群循环：

1
R={0,c,2c,...,(pq-1)c}

取：

1
x=pc, y=qc

则 x,y 非零，但：

1
xy=(pc)(qc)=pq c^2=0

矛盾。

习题 18.10：非零因子乘法半群

设 S 为 R 中所有非零因子组成的集合。若 x,y in S 且 (xy)a=0，则：

1
x(ya)=0 => ya=0 => a=0

所以 xy 仍不是零因子，<S,*> 是乘法子半群。

但 <S,+,*> 不一定是子环。例如 Z_6 中：

1
S={0,1,5}

乘法封闭，但加法不封闭。

习题 18.11：有限整环必是域

有限整环中非零元素乘法满足消去律。对任意非零 a，映射：

1
x -> ax

在有限集合 R-{0} 上是单射，因此也是满射。于是存在 x：

1
ax=1

所以每个非零元素可逆，R 是域。

习题 18.12：域特征下的 Frobenius 公式

若域 F 的特征为非零 n，则 n 为素数。展开：

1
(a+b)^n = a^n + sum_{i=1}^{n-1} C(n,i)a^i b^{n-i} + b^n

因 n | C(n,i)，中间项在特征 n 中全为 0，故：

1
(a+b)^n=a^n+b^n

习题 18.13：由子环生成最小子域

设 T 是域 F 的子环，|T|>=2，令：

1
S={ab^{-1} | a,b in T, b!=0}

则：

1
2
3
T subset S
S 是 F 的子域
S 是包含 T 的最小子域

证明关键：差与商仍可写成 ab^{-1} 形式，例如：

1
a1b1^{-1}-a2b2^{-1}=(a1b2-a2b1)(b1b2)^{-1}

习题 18.14：唯一右单位元推出含幺环

设 e 是唯一右单位元。对任意 x，构造：

1
ex-x+e

可验证它也是右单位元。由唯一性：

1
ex-x+e=e

所以 ex=x。因此 e 同时是左单位元和右单位元，R 是含幺环。

习题 18.15：右逆元、不可逆与左零因子

设含幺环中 u 有右逆元。下列等价：

1
2
3
(1) u 有多于一个右逆元；
(2) u 不可逆；
(3) u 是左零因子。

关键链：

1
2
3
多个右逆元 => 若 u 可逆则右逆元唯一，矛盾。
不可逆且 uv=1 => vu!=1，u(vu-1)=0，所以 u 是左零因子。
若 ua=0 且 a!=0，uv=1，则 u(v+a)=1，得到另一个右逆元。

习题 18.16：整环中唯一幂零元

若 a^n=0。整环无零因子，由归纳：

1
a^n=0 => a=0

所以 0 是整环中唯一幂零元。

习题 18.17：交换环中幂零元构成子环

设幂零元集合为 S。若：

1
a^m=0, b^n=0

则二项展开可得：

1
(a-b)^{m+n}=0

且交换性保证：

1
(ab)^m=a^m b^m=0

所以 S 是子环。

习题 18.18：幂零元集合是理想

在习题 18.17 已知幂零元集合 S 是子环。若 a in S，a^n=0，任取 r in R，交换环中：

1
(ar)^n=a^n r^n=0

所以 ar in S，同理 ra in S。因此 S 是理想。

习题 18.19：理想交仍为理想

若 D1,D2 是 R 的理想，则 D1 cap D2 是子加群。任取：

1
d in D1 cap D2, r in R

有：

1
dr, rd in D1 且 in D2

所以：

1
dr, rd in D1 cap D2

故交仍为理想。

习题 18.20：理想和仍为理想，子环和未必是子环

若 A,B 是理想，则：

1
A+B={a+b | a in A, b in B}

是理想。验证：

1
2
3
(a+b)-(c+d)=(a-c)+(b-d)
(a+b)r=ar+br
r(a+b)=ra+rb

但若 A,B 只是子环，A+B 未必对乘法封闭。答案给出的矩阵子环例子中，两个上/下形子环之和含有某矩阵，但其平方不在该和集中。

习题 18.21：矩阵环无非平凡理想

设 D 是 M_n(F) 的非零理想。取非零矩阵 A in D，某项 a_kl !=0。用矩阵单位 E_ij：

1
E_ij = a_kl^{-1} E_ik A E_lj

所以全部 E_ij in D。任意矩阵都是 E_ij 的线性组合，故：

1
D=M_n(F)

非平凡理想不存在。

习题 18.22：Z_5 与 Z_6 的理想

1
2
Z_5 的理想：{0}, Z_5
Z_6 的理想：{0}, {0,2,4}, {0,3}, Z_6

习题 18.23：偶数环的商环

设：

1
A=2Z, D=4Z

则 D 是 A 的理想，且：

1
A/D={4Z, 4Z+2}

习题 18.24：理想的根集

设 D 是交换环 R 的理想：

1
N(D)={x in R | 存在 n>0，使 x^n in D}

则 N(D) 是理想。

证明关键：

1
2
x^m in D, y^n in D => (x-y)^{m+n} in D
x^n in D => (xr)^n=x^n r^n in D

习题 18.25：幂零理想与幂零商环

若 A 是幂零理想：

1
A^n={0}

且 R/A 是幂零环，设：

1
(R/A)^m={0}

则任意 m 个 R 中元素的乘积落入 A，再取 n 组这样的乘积相乘得到 0。所以：

1
R^{mn}={0}

即 R 是幂零环。

习题 18.26：极大理想与商域

设 R 是交换含幺环，H 是理想且 H!=R。

1
R/H 是域 <=> H 是极大理想

必要性：若 H subset M subset R 且 a in M-H，则 H+a 在域 R/H 中可逆，推出 1 in M，故 M=R。

充分性：对非零陪集 H+a，令：

1
M={h+ax | h in H, x in R}

这是包含 H 的理想，且严格大于 H，由极大性 M=R，从而有 h+ab=1，即 H+a 可逆。

习题 18.27：有限生成理想

设 R 是交换环：

1
S={r1x1+r2x2+...+rmxm | ri in R}

则 S 是理想。验证差封闭和任意环元素乘入仍在 S 中即可。

习题 18.28：Z_2 到 Z 的环同态

设 f(1)=t。因为：

1
0=f(0)=f(1+1)=2t

所以 t=0。因此唯一环同态是零同态：

1
f(0)=0, f(1)=0

习题 18.29：矩阵环子环与同态

设：

1
2
A={ [[a,b],[0,c]] | a,b,c in Z }
B={ [[0,x],[0,0]] | x in Z }

则 B 是 A 的子环。

可取同态：

1
phi([[a,b],[0,c]]) = [[0,c],[0,0]]

答案给出：

1
ker phi = { [[a,b],[0,0]] | a,b in Z }

习题 18.30：多项式代入同态

定义：

1
2
phi:F[x] -> F
phi(f(x))=f(0)

则：

1
2
phi(f+g)=phi(f)+phi(g)
phi(fg)=phi(f)phi(g)

且对任意 a in F，有 phi(x+a)=a，故满同态。

1
2
ker phi={xg(x) | g(x) in F[x]}
F[x]/ker phi={a+ker phi | a in F} ~= F

习题 18.31：第三同构定理的环版本

若 A,B 是 R 的理想且 B subset A，则：

1
2
A/B 是 R/B 的理想
(R/B)/(A/B) ~= R/A

构造：

1
2
phi:R/B -> R/A
phi(B+r)=A+r

核为：

1
A/B

习题 18.32：同态原像公式

对 S subset R1：

1
phi^{-1}(phi(S)) = ker phi + S

证明链：

1
2
3
4
x in phi^{-1}(phi(S))
<=> 存在 a in S，使 phi(x)=phi(a)
<=> x-a in ker phi
<=> x in ker phi + S

习题 18.33：域的非零同态是单同态

若 phi:F1 -> F2 是域同态且 phi(F1)!={0}。若 ker phi 含非零 a，则 a^{-1}a=1 in ker phi，于是 ker phi=F1，推出 phi(F1)={0}，矛盾。

所以：

1
ker phi={0}

phi 是单同态。

习题 18.34：Abel 群的自同态环

设 G 是 Abel 群，在 EndG 上定义：

1
2
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(f o g)(x)=f(g(x))

则：

1
<EndG,+,o> 是环。

若 G=<a> 是 n 阶循环群，则自同态由 f(a) 唯一确定：

1
2
f_p(a^i)=a^{ip}, p=0,1,...,n-1
EndG={f_0,f_1,...,f_{n-1}}

运算为：

1
2
f_i+f_j=f_{(i+j) mod n}
f_i o f_j=f_{(ij) mod n}

所以它同构于 Z_n。

习题 18.35：有理数加法群的自同态环

任意加法群自同态 f 由 f(1) 决定：

1
f(m/n)=m f(1)/n

定义：

1
2
Phi:End(Q,+) -> Q
Phi(f)=f(1)

它是双射且保持加法、复合乘法，因此：

1
End(Q,+) ~= Q

习题 18.36：F_2[x]/(x+x^2)

1
x+x^2=x(1+x)

是可约多项式，因此商环不是域。答案指出：

1
x 没有乘法逆元

习题 18.37：不可约多项式非零系数个数为奇数

在 F_2[x] 中，若次数大于 1 的不可约多项式有偶数个非零系数，则：

1
f(1)=0

所以 x+1 是因子，和不可约矛盾。因此非零系数个数必须为奇数。

习题 18.38：F_2[x] 中 1 到 4 次不可约多项式

答案：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
x
1+x
1+x+x^2
1+x+x^3
1+x^2+x^3
1+x+x^4
1+x^2+x^4
1+x^3+x^4
1+x+x^2+x^3+x^4

习题 18.39：构造 8 阶有限域

取不可约多项式：

1
f(x)=1+x+x^3

则：

1
F_2[x]/(f(x))

是 8 阶有限域，元素可表示为：

1
0, 1, x, 1+x, x^2, 1+x^2, x+x^2, 1+x+x^2

乘法按关系：

1
x^3=x+1

化简。

习题 18.40：x^5-1 在 F_2[x] 上分解

在 F_2 中 -1=1，所以：

1
x^5-1=x^5+1

答案给出：

1
x^5-1=(1+x)(1+x+x^2+x^3+x^4)

12、复盘清单

1
2
3
4
5
6
7
8
1. 会区分环、交换环、含幺环、整环和域。
2. 会证明环的基本性质：a0=0、(-a)b=-(ab)、分配展开。
3. 会判断 Z_n 的零因子、可逆元和是否为域。
4. 会用 x-y 与 xy 判定子环。
5. 会用“子加群 + 左右吸收”判定理想。
6. 会构造商环，并检查同态核与商环同构。
7. 会用有限整环必为域、有限域阶为 p^n。
8. 会用不可约多项式构造有限域 F_p[x]/(f)。